二項定理

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

二項式の自然数乗を展開する二項定理と、組合せ記号を用いた各項の係数の求め方を学びます。特定の項の係数を素早く求めたり、確率の二項分布を調べたりする場面で役立ちます。事前に式の展開規則と組合せの計算を身につけておくと円滑です。

要点

$(a + b)^n$ の式を一気に展開するための二項定理の公式です。それぞれの項の係数は、組合せの記号 ${}_n\mathrm{C}_r$ を使って計算できます。

(a + b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r} b^r

展開した式の中から、特定の項だけを取り出す一般項の式です。調べたい文字の指数に合わせて $r$ を選ぶことで、その項の係数が分かります。

T_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r} b^r

二項定理で $a$ を 1、 $b$ を $x$ にした応用式です。1 は何乗しても 1 なので、 $x^r$ の前の係数が組合せの数 ${}_n\mathrm{C}_r$ そのものになります。

(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r x^r

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