3乗の和と差

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

a³+b³やa³−b³の公式を使い、3次式を1次式と2次式の積に因数分解する方法を学びます。この手法は高次方程式を解く場面などで広く利用されます。事前に3乗の展開公式や2次式の因数分解を理解しておくと円滑に習得できます。

要点

2つの数 $a$ と $b$ の3乗の和 $a^3 + b^3$ を因数分解するときに使います。1つ目の因数が $(a + b)$ となり、2つ目の因数の1次項が負符号の $-ab$ になる点を確認します。

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

2つの数 $a$ と $b$ の3乗の差 $a^3 - b^3$ を因数分解するときに使います。1つ目の因数が $(a - b)$ となり、2つ目の因数の1次項が正符号の $+ab$ になる点を確認します。

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

2つ目の因数の中央の項は $2ab$ ではなく $ab$ となります。また、この2次式の因数は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

練習する問題セットを選んでください。