3つの項の展開

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

(a+b+c)²のように3つの項からなる式を、まとまりを意識して展開する方法を学びます。対称性のある複雑な式を整理する場面で威力を発揮します。事前に2つの項の乗法公式を確実に使いこなせるようにしておくと理解しやすくなります。

要点

3つの数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の和を2乗した式を展開するときに使います。それぞれの2乗の和に、各ペアの積を2倍したもの（ $2ab$ 、 $2bc$ 、 $2ca$ ）をすべて足し合わせます。

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

共通の変数 $x$ と定数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ を含む3つの式を掛け合わせるときに使います。係数は順に3数の和、2数ずつの積の和、そして3数の積 $abc$ となります。

(x + a)(x + b)(x + c) = x^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x + abc

3つの文字 $a$ 、 $b$ 、 $c$ を含む特定の積を展開するときに使います。途中の展開項がすべて相殺され、3乗の和から $3abc$ を引いた形にまとまります。

(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

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