3次の展開

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

(a+b)³などの公式を用いて、3次式を効率的に展開する方法を学びます。高次方程式や多項式の整理で役立つ重要な計算手法です。2乗の展開公式や文字式の同類項のまとめ方を事前に習得しておくとスムーズに解けます。

要点

2つの数 $a$ と $b$ の和を3乗した式を展開するときに使います。両端がそれぞれの3乗になり、中央の2項にはどちらも係数 3 がつきます。

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

2つの数 $a$ と $b$ の差を3乗した式を展開するときに使います。項の形は和の3乗と同じですが、符号が正と負で交互に並びます。

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

2つの式を展開して $a$ と $b$ の3乗の和 $a^3 + b^3$ を導くときに使います。途中の項が打ち消し合うよう、2つ目の式の1次項が $-ab$ と引き算になっている点を確認します。

(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3

2つの式を展開して $a$ と $b$ の3乗の差 $a^3 - b^3$ を導くときに使います。途中の項が打ち消し合うよう、2つ目の式の1次項が $+ab$ と足し算になっている点を確認します。

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

練習する問題セットを選んでください。