対角化

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

固有ベクトルを用いて正方行列を対角行列に変形する対角化の手法を学びます。行列の累乗計算や連立微分方程式を解く際に威力を発揮します。固有値・固有ベクトルの計算が前提となります。

要点

正方行列 $A$ を、対角線上に固有値 $\lambda_1$ から $\lambda_n$ だけが並ぶ計算しやすい形（対角行列）に変形するときに使う式です。 $P$ は固有ベクトルを並べて作る正方行列です。

P^{-1} A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

行列 $A$ を何回も掛ける計算（累乗 $A^k$ ）を簡単に求めるときに使う式です。対角行列 $D$ の $k$ 乗は、対角線上の数をそれぞれ $k$ 乗するだけで楽に計算できます。

A^k = P D^k P^{-1}

行列の対角化に使う行列 $P$ の作り方を表す式です。行列 $A$ の固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ から $\boldsymbol{v}_n$ を、対角化後の固有値と同じ順番で縦に並べて作ります。

P = [\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_n]

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