二項分布

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

各回の成功確率が一定で独立な試行を繰り返すとき、成功回数が従う二項分布の確率や期待値を求めます。製品の不良品率の検査や世論調査など、実社会の標本抽出で広く使われます。反復試行の確率と組合せの計算知識が前提です。

要点

1回の成功確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返すとき、ちょうど $k$ 回成功する確率を求める式です。コイン投げや製品検査などで、狙った回数だけ成功する確率を計算したいときに使います。

P(X=k) = {}_n\mathrm{C}_k p^k (1-p)^{n-k}

二項分布において、平均して何回成功が期待できるか（期待値 $E(X)$ ）を求める式です。全体の試行回数 $n$ に1回の成功確率 $p$ を掛け算するだけで簡単に求まります。

E(X) = np

二項分布における成功回数の散らばり具合（分散 $V(X)$ ）を計算する式です。全体の試行回数 $n$ に、成功確率 $p$ と失敗確率 $1-p$ を掛け合わせて求めます。

V(X) = np(1-p)

二項分布における成功回数の散らばりの幅（標準偏差 $\sigma(X)$ ）を求める式です。分散 $np(1-p)$ の正の平方根をとることで、平均からどれくらいのズレが生じやすいかがわかります。

\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

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