正規分布

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

自然界や社会で広く見られる釣鐘型の正規分布について、標準化や確率の求め方を学びます。テストの偏差値算出や測定誤差の解析など、統計的推測の基礎として重宝されます。確率変数や平均・分散の理解が前提知識です。

要点

平均 $m$ 、標準偏差 $\sigma$ のデータ $X$ を、平均 0・標準偏差 1 の基準に変換する「標準化」の式です。平均点やばらつきが異なる別のテスト同士の成績を公平に比べるときに使います。

Z = \frac{X - m}{\sigma}

標準化したあとの変数 $Z$ では、平均 $E(Z)$ が必ず 0 になり、分散 $V(Z)$ が必ず 1 になるという決まりを表しています。どんなデータでも同じ尺度にそろえて分析できるようになります。

E(Z) = 0, \quad V(Z) = 1

平均 $m$ を中心とした左右対称の釣鐘形グラフ（正規分布）の高さを表す式です。各地点 $x$ での確率の密度を示し、標準偏差 $\sigma$ が大きいほどなだらかに広がった山形になります。

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}

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