確率変数と期待値・分散

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

試行の結果に応じて値が決まる確率変数を扱い、その平均を表す期待値や散らばりを表す分散を計算します。統計データの分析やリスク管理など、ばらつきを定量化する場面で役立ちます。確率の基本概念や平均の計算知識が前提となります。

要点

確率変数 $X$ の平均値（期待値）を求める式です。起こりうるそれぞれの値 $x_i$ にその確率 $p_i$ を掛け合わせ、すべて足し合わせることで、長い目で見て期待できる平均の値がわかります。

E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i

確率変数 $X$ の散らばり具合（分散 $V(X)$ ）を素早く計算する公式です。「値の2乗の平均」 $E(X^2)$ から「平均の2乗」 $(E(X))^2$ を引き算することで、定義式よりも簡単に求められます。

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

データの散らばりの大きさを表す標準偏差 $\sigma(X)$ を求める式です。分散 $V(X)$ の正の平方根をとることで、2乗されていた単位が元に戻り、平均値と同じ単位で散らばりを比べられます。

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

確率変数 $X$ を $a$ 倍して定数 $b$ を足したとき、分散がどう変わるかを表す式です。全員に同じ数 $b$ を足しても散らばり幅は変わりませんが、 $a$ 倍すると分散は $a^2$ 倍に広がります。

V(aX+b) = a^2 V(X)

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