速度と加速度

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

位置を表す関数を時間で1回微分して速度を、もう1回微分して加速度を導出します。物体の落下や振動など、物理学における運動の解析や工学シミュレーションで必須の手法です。多項式や三角関数の微分法の習得が前提となります。

要点

直線上を動く物体の瞬間の速度 $v$ を求める式です。物体の位置 $x$ を時刻 $t$ で微分することで、その瞬間における移動の速さと向きがわかります。

v = \frac{dx}{dt}

速度が変化する勢い（加速度 $a$ ）を求める式です。速度 $v$ を時刻 $t$ で微分するか、位置 $x$ を時刻 $t$ で 2 回微分することで求められます。

a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}

平面上を運動する物体の瞬間の速さ（速度ベクトル $\vec{v}$ の大きさ $|\vec{v}|$ ）を求める式です。横方向の速度 $\frac{dx}{dt}$ と縦方向の速度 $\frac{dy}{dt}$ をそれぞれ2乗して足し合わせ、正の平方根をとります。

|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

練習する問題セットを選んでください。