円の方程式

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

中心の座標と半径から円の方程式を導き、直線との交点や接線の方程式を求める手法を学びます。幾何的な図形の交わりや接する条件を代数的に分析する場面で役立ちます。三平方の定理に基づく2点間の距離の公式を理解しておくと役立ちます。

要点

座標平面上の円を表す標準形の方程式です。 $(a, b)$ は円の中心の座標を、 $r$ は円の半径（ $r > 0$ ）を表しており、中心と半径がわかっているときに円の式を作ることができます。

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

円の方程式をすべて展開してまとめた一般形の式です。 $x$ と $y$ のそれぞれについて平方完成を行って $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形することで、円の中心座標や半径を求められます。

x^2 + y^2 + lx + my + n = 0

原点を中心とする半径 $r$ の円 $x^2+y^2=r^2$ において、円周上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求める公式です。接点の座標 $(x_1, y_1)$ を式に直接代入するだけで接線の式が得られます。

x_1 x + y_1 y = r^2 \quad (x_1^2 + y_1^2 = r^2)

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