圆的方程

日本学年参考：数学II

学习内容

本节学习根据圆心坐标和半径建立圆的标准方程与一般方程，并求解圆与直线的交点及切线方程。这在代数化研究几何图形相交与相切问题中极为常用。学习前需要掌握两点间距离公式以及直线方程的基本知识。

要点

这是坐标平面上圆的标准方程。其中 $(a, b)$ 表示圆心的坐标， $r$ （ $r > 0$ ）表示圆的半径，已知圆心和半径时可用此式建立方程。

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

这是圆的一般方程形式。通过对 $x$ 和 $y$ 分别进行配方，将其化为标准形式 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ ，即可求出圆心坐标与半径。

x^2 + y^2 + lx + my + n = 0

这是求以原点为中心、半径为 $r$ 的圆 $x^2+y^2=r^2$ 在圆上一点 $(x_1, y_1)$ 处的切线方程的公式。直接将切点坐标 $(x_1, y_1)$ 代入即可求得切线。

x_1 x + y_1 y = r^2 \quad (x_1^2 + y_1^2 = r^2)

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