放物線

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

焦点と準線からの距離が等しい点の軌跡としての放物線の定義と標準方程式を学びます。パラボラアンテナの反射特性や物体の投射軌道の解析など工学や物理で広く応用されます。事前に2次関数のグラフや2点間の距離の公式を理解しておくと役立ちます。

要点

原点を頂点とし、左右（横向き）に開く放物線の方程式です。定数 $p$ は焦点の座標 $(p, 0)$ や準線の方程式 $x = -p$ を表し、 $p > 0$ なら右開き、 $p < 0$ なら左開きになります。

y^2 = 4px \quad (p \neq 0)

原点を頂点とし、上下（縦向き）に開く放物線の方程式です。定数 $p$ は焦点の座標 $(0, p)$ や準線の方程式 $y = -p$ を表し、 $p > 0$ なら上開き、 $p < 0$ なら下開きになります。

x^2 = 4py \quad (p \neq 0)

放物線 $y^2 = 4px$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求める公式です。放物線の式の $y^2$ を $y_1 y$ に、 $2x$ を $x + x_1$ に置き換えて得られます。

y_1 y = 2p(x + x_1)

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