媒介変数と極座標

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

変数を仲介して表す媒介変数表示や、距離と角で位置を表す極座標の基本を学びます。複雑な軌跡の記述や回転運動など円周方向の対称性をもつ現象の解析で活用されます。事前に三角関数やベクトルの基礎知識を身につけておくと理解がスムーズです。

要点

極座標 $(r, \theta)$ （原点からの距離 $r$ と偏角 $\theta$ ）から、通常の直交座標 $(x, y)$ を求める公式です。回転運動や円形の対称性をもつ図形を直交座標上で分析するときに使います。

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

直交座標 $(x, y)$ から、原点からの距離 $r$ と偏角 $\theta$ を求める式です。距離 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を計算し、 $\theta$ は点 $(x, y)$ のある象限を考慮して決定します。

r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x, y)$ を、1つの媒介変数 $\theta$ で表す式です。2変数の式を1変数 $\theta$ の三角関数に置き換えて、最大値や最小値を求めるときに使います。

x = a\cos\theta, \quad y = b\sin\theta

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