複素数平面

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

複素数を平面上の点やベクトルとして捉え、極形式やド・モアブルの定理を用いた乗法と回転を学びます。図形の回転移動や方程式の幾何学的解釈に応用されます。複素数の四則計算や三角関数の基礎知識を理解していると効果的です。

要点

複素数を座標平面上で「原点からの距離」と「正の向きからの回転角」によって表す極形式の式です。 $r$ は複素数の絶対値 $|z|$ （原点からの距離）を、 $\theta$ は偏角（実軸の正の向きとなす角）を表します。

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad (r = |z|)

極形式の複素数を $n$ 乗するときに計算を簡単にするド・モアブルの定理です。絶対値が 1 の複素数を $n$ 乗すると、偏角 $\theta$ がちょうど $n$ 倍の $n\theta$ に変化します。

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

2つの複素数 $z_1$ と $z_2$ を掛け算したときの幾何学的な性質を表す式です。積の絶対値（原点からの距離）はそれぞれの絶対値の積 $|z_1||z_2|$ になり、偏角（角度）はそれぞれの偏角の和 $\arg z_1 + \arg z_2$ になります。

|z_1 z_2| = |z_1||z_2|, \quad \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2

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