複素数の計算

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

2乗して-1になる虚数単位を導入し、複素数の足し算・引き算・掛け算・割り算の規則を学びます。実数の範囲を超えた方程式の解析や工学の基礎計算で利用されます。実数の四則演算や式の展開、分母の有理化の知識が前提となります。

要点

2乗すると $-1$ になる虚数単位 $i$ の定義です。実数ではありえない「平方して負になる数」を扱うための基本規則で、計算中に $i^2$ が現れたら $-1$ に置き換えます。

i^2 = -1

2つの複素数 $a+bi$ と $c+di$ を掛け算するときの公式です。文字式と同じように展開したあと、 $i^2$ を $-1$ に置き換えて実数の部分 $ac-bd$ と虚数の部分 $(ad+bc)i$ にまとめます。

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

複素数の割り算を計算するときに使う公式です。分母と分子の双方に共役な複素数 $c-di$ を掛けることで、分母を有理化のように実数化して $i$ をなくします。

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} \quad (c^2+d^2 \neq 0)

複素数 $z=a+bi$ とその共役な複素数 $\overline{z}=a-bi$ を掛け算したときの性質を表す式です。虚数単位 $i$ が消えて、実数である各成分の平方の和 $a^2+b^2$ （絶対値の2乗 $|z|^2$ ）になります。

z\overline{z} = a^2 + b^2 \quad (z = a+bi)

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