有理数与无理数

日本学年参考：初中3年级

学习内容

学习能够表示为两整数之比（分母不为0）的有理数与不能如此表示的无理数之间的区别，掌握实数的分类方法。这有助于理清数的体系并严格理解平方根的性质。在学习前，先复习分数和小数的基本意义将很有帮助。

要点

表示有理数的定义。凡是能表示为两整数之比 $\frac{a}{b}$ （ $a, b$ 为整数且分母 $b \neq 0$ ）形式的数，均称为有理数。

\frac{a}{b} \quad (a, b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0)

用于将单数字 $a$ 循环的小数（如 $0.333\dots$ ）化为分数。由于可表示为分母是 9 的分数 $\frac{a}{9}$ ，循环小数亦属于有理数。

0.\dot{a} = \frac{a}{9}

用于将两位数字 $a, b$ 循环的小数（如 $0.1212\dots$ ）化为分数。将循环的两位数 $10a + b$ 作为分子、99 作为分母即可化为分数。

0.\dot{a}\dot{b} = \frac{10a + b}{99}

无限不循环小数（如 $\sqrt{2}$ 和圆周率 $\pi$ ）无法写成整数分数形式。这类数被称为“无理数”。

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