双重根号

日本学年参考：数学I

学习内容

学习对含有双重根号的式子进行变形，将其化为形如 √a±√b 的平方根之和或差的化简方法。这能让含根号的无理数式子更简明且易于计算。在学习前，熟练掌握乘法展开公式和平方根基础运算将有助于顺利理解。

要点

用于化简外层包含根号的双重根号。当内层根号前的数字为 2 时，找出相加等于 $a + b$ 、相乘等于 $ab$ 的两个正数 $a$ 与 $b$ ，即可化简外层根号。

\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \quad (a > 0, b > 0)

用于化简中间为减号的双重根号。由于开平方的结果必须大于或等于 0，因此需满足 $a > b$ ，用较大的 $\sqrt{a}$ 减去较小的 $\sqrt{b}$ 。

\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad (a > b > 0)

当内层根号前面的数字不是 2 时使用的变形方法。通过向内层根号移入或移出因数凑出系数 2，然后再套用公式化简。

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