圆周角定理

日本学年参考：初中3年级

学习内容

学习圆周角与圆心角之间的大小关系以及同弧所对圆周角的性质。本节以三角形内角和与等腰三角形性质为基础，用于求未知角度及判断四点共圆。圆周角定理在几何证明、作图以及圆的相关综合题中都是不可或缺的工具。

要点

该公式表示同一条弧所对的圆周角 $\angle APB$ 与以圆心 $O$ 为顶点的圆心角 $\angle AOB$ 之间的关系。圆周角的大小始终等于圆心角的一半，例如圆心角为 $60^\circ$ 时，圆周角即为 $30^\circ$ 。

\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB

该定理表明同一条弧所对的圆周角 $\angle APB$ 与 $\angle AQB$ 大小相等。无论顶点 $P$ 和 $Q$ 位于圆周上的哪个位置，所张的角度都完全相同，常用于计算和比较角度。

\angle APB = \angle AQB

该定理表明当线段 $AB$ 是圆的直径时，它所对的圆周角 $\angle APB$ 必为直角（ $90^\circ$ ）。在圆中寻找直角三角形以应用相关几何性质时非常关键。

\angle APB = 90^\circ

这是判断四个点 $A, B, P, Q$ 是否共圆的判定定理。如果点 $P$ 和 $Q$ 位于直线 $AB$ 的同侧且满足 $\angle APB = \angle AQB$ ，则这四个点必定位于同一个圆周上。

请选择要练习的题组。