维恩图与元素个数

日本学年参考：数学I

学习内容

本节学习通过韦恩图直观展示多个集合的包含与重叠关系，并运用容斥原理计算各集合的元素个数。这在问卷调查的数据重叠统计以及排列组合计数中应用广泛。事先理解并集与交集的概念将有助于掌握本节内容。

要点

该公式用于计算属于 $A$ 或 $B$ 的元素总个数。将 $A$ 的个数 $n(A)$ 与 $B$ 的个数 $n(B)$ 相加，再减去重复计算的重叠部分 $n(A \cap B)$ 。

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

该公式用于计算不在集合 $A$ 中的元素个数。只需从总体总数 $n(U)$ 中减去属于 $A$ 的个数 $n(A)$ 即可得出。

n(\bar{A}) = n(U) - n(A)

该公式用于计算属于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中至少一个的元素总个数。把三个集合分别相加并减去所有两两重叠的部分，最后加回被多减去的三个集合共同重叠的中心部分。

n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)

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