ベン図と要素の個数

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

複数の集合の重なりをベン図で視覚的に捉え、包除原理を用いて各集合の要素の個数を計算する方法を学びます。アンケート集計の重複分析や場合の数の基礎として幅広く応用されます。和集合や共通部分の概念を理解しておくと効果的です。

要点

$A$ または $B$ の少なくとも一方に入る要素の総数を求める式です。 $A$ の個数 $n(A)$ と $B$ の個数 $n(B)$ を足し合わせた後、重複して数えた重なり $n(A \cap B)$ を引いて計算します。

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

集合 $A$ に入っていないものの個数を求める式です。全体の個数 $n(U)$ から、 $A$ に入っている個数 $n(A)$ を引き算することで計算します。

n(\bar{A}) = n(U) - n(A)

$A$ 、 $B$ 、 $C$ の少なくともどれかに入る要素の総数を求める式です。3つを足して2つずつの重なりを引いた後、引きすぎてしまった3つ共通の重なりを足し戻します。

n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)

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