泰勒展开

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习利用高阶导数对函数进行多项式局部近似的方法，以及将其表示为幂级数的泰勒展开与麦克劳林展开。该方法在复杂函数的数值计算与物理现象的近似分析中应用广泛。学习前需要掌握高阶导数的计算以及级数收敛性的基本概念。

要点

这是泰勒展开公式，用于把光滑函数 $f(x)$ 在基准点 $x = a$ 附近表示为多项式。式中 $f^{(n)}(a)$ 是在点 $a$ 处的 $n$ 阶导数， $n!$ 为阶乘。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n

这是以 $x = 0$ 为基准点的麦克劳林展开公式。常用于在 0 附近将复杂的函数 $f(x)$ 近似为关于 $x$ 的简单多项式。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

该公式将指数函数 $e^x$ 展开为关于 $x$ 的无穷幂级数。它对所有实数 $x$ 都成立，常用于高精度计算 $e^x$ 的数值。

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

该公式用多项式表示正弦函数 $\sin x$ 。展开式只包含奇数次幂（ $x, x^3, x^5, \dots$ ）且正负符号交替出现，对所有实数 $x$ 都成立。

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

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