テイラー展開

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

高次導関数を用いて関数を多項式で局所近似する手法や、べき級数として表現するテイラー展開を学びます。複雑な関数の数値計算や、物理現象における近似解析などで幅広く活用されます。高次導関数の計算力に加え、級数の収束に関する理解が不可欠です。

要点

関数 $f(x)$ を、基準点 $x = a$ のまわりで多項式（べき乗の和）として近似・表現する「テイラー展開」の公式です。 $f^{(n)}(a)$ は点 $a$ における $n$ 回微分（導関数）の値を表し、 $n!$ は階乗を表します。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n

基準点を原点 $x = 0$ としたテイラー展開（マクローリン展開）の公式です。0 の近くで複雑な関数 $f(x)$ を $x, x^2, x^3$ などの扱いやすい多項式に近似するときに使います。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

指数関数 $e^x$ を無限個の多項式の和として表すマクローリン展開の公式です。すべての実数 $x$ で成り立ち、コンピューターが $e^x$ の数値を高精度に計算するときなどにも使われます。

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

三角関数 $\sin x$ を多項式で表す公式です。奇数のべき乗（ $x, x^3, x^5, \dots$ ）だけが符号を交互に変えながら現れ、すべての実数 $x$ で成り立ちます。

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

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