最大值与最小值

日本学年参考：数学I

学习内容

本节学习关注定义域是否受限以及定义域与对称轴的位置关系，求解二次函数的最大值与最小值。该技巧常用于面积或利润最大化等实际优化问题。学习前，建议熟练掌握配方法求顶点以及绘制抛物线草图的技能。

要点

在没有自变量范围限制时，开口向上（ $a > 0$ ）的抛物线在顶点取得最小值 $q$ ，开口向下（ $a < 0$ ）则在顶点取得最大值 $q$ 。

a > 0 \implies \min = q \; (x = p), \quad a < 0 \implies \max = q \; (x = p)

当自变量限制在 $s \le x \le t$ 时，最大值和最小值只可能出现在区间的两端点值 $f(s), f(t)$ ，或者包含在区间内的顶点值 $f(p)$ 处。

\max, \min \in \{f(s), f(t), f(p)\}

通过比较抛物线的对称轴与区间中点 $(s + t)/2$ 的位置，可以判断哪一个端点会取得最大值（或最小值）。

请选择要练习的题组。