最大・最小

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

定義域の制限の有無や、定義域と軸の位置関係に着目して二次関数の最大値・最小値を求める方法を学びます。面積や利益の最大化など最適条件の決定に広く応用されます。事前に平方完成とグラフの概形把握を身につけておくと円滑です。

要点

$x$ の範囲に制限がないとき、下に凸（ $a > 0$ ）なら頂点で最小値 $q$ をとり、上に凸（ $a < 0$ ）なら頂点で最大値 $q$ をとります。

a > 0 \implies \min = q \; (x = p), \quad a < 0 \implies \max = q \; (x = p)

$x$ の範囲が $s$ から $t$ まで（ $s \le x \le t$ ）に限られているとき、最大値や最小値は区間の端点 $f(s), f(t)$ か、範囲内に頂点があればその値 $f(p)$ のいずれかになります。

\max, \min \in \{f(s), f(t), f(p)\}

グラフの対称軸が範囲の中央 $(s + t)/2$ より左右どちらに寄っているかを比べることで、どちらの端点でより大きな（または小さな）値をとるかがわかります。

練習する問題セットを選んでください。