余式定理与因式定理

日本学年参考：数学II

学习内容

本节学习快速计算多项式除以一次式余数的余数定理，以及用于寻找多项式一次因式的因式定理。它们是求解高次方程与因式分解高次多项式的关键工具。学习前，建议先掌握多项式除法以及代数式求值的基本方法。

要点

该定理表明，多项式 $P(x)$ 除以 $x - \alpha$ 的余数等于直接代入所得的 $P(\alpha)$ 。可在不进行长除法的情况下快速求出余数。

P(x) = (x - \alpha)Q(x) + P(\alpha)

多项式 $P(x)$ 除以 $ax + b$ 的余数等于把 $-b/a$ 代入所得的 $P(-b/a)$ 。用于求解除以带有系数 $a$ 的一次式时的余数。

P(x) = (ax + b)Q(x) + P\left(-\frac{b}{a}\right)

如果 $P(\alpha) = 0$ ，则多项式 $P(x)$ 能被 $x - \alpha$ 整除并包含因式 $(x - \alpha)$ 。这是对高次多项式进行因式分解和求解方程的重要工具。

P(\alpha) = 0 \iff P(x) = (x - \alpha)Q(x)

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