高次方程

日本学年参考：数学II

学习内容

本节学习利用因式定理与特殊因式分解技巧，求解三次及以上高次方程的步骤。该知识常用于求解函数图像交点以及根据几何体积条件确定未知数。在学习本内容前，熟练掌握因式定理与二次方程的解法至关重要。

要点

解高次方程时，先找一个使得 $P(\alpha) = 0$ 的数 $\alpha$ ，提取公因式 $(x - \alpha)$ 将方程降次后再求解。

P(\alpha) = 0 \implies P(x) = (x - \alpha)Q(x) = 0

整系数方程的有理数（分数）解候选值，只能在 $\pm(\text{常数项 } a_0 \text{ 的因数}) / (\text{最高次项系数 } a_n \text{ 的因数})$ 中寻找。常用于缩小试根范围。

x = \pm \frac{p}{q} \quad (p \mid a_0, \; q \mid a_n)

仅包含 $x^4$ 和 $x^2$ 的双二次方程，可以通过设 $X = x^2$ 或变形为平方差形式 $(x^2 + k)^2 - (mx)^2$ 进行因式分解来求解。

x^4 + ax^2 + b = (x^2 + k)^2 - (mx)^2 = 0

在复数范围内，如果将重根分别计数，任何 $n$ 次方程都恰好拥有 $n$ 个解。

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