剰余の定理・因数定理

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

整式を一次式で割った余りを素早く計算する剰余の定理と、因数を見つけ出す因数定理を学びます。高次方程式の解法や複雑な式の因数分解を行う際に強力な道具となります。事前に整式の割り算の手順と代入計算を理解しておくと円滑に進められます。

要点

整式 $P(x)$ を $x - \alpha$ で割った余りが、 $\alpha$ を代入した値 $P(\alpha)$ と一致することを示す定理です。実際の割り算をせずに余りだけを素早く求めるときに使います。

P(x) = (x - \alpha)Q(x) + P(\alpha)

整式 $P(x)$ を $ax + b$ で割った余りは、 $x$ に $-b/a$ を代入した $P(-b/a)$ で求められます。割る式に係数 $a$ が付いている一次式の余りを計算するときに使います。

P(x) = (ax + b)Q(x) + P\left(-\frac{b}{a}\right)

$P(\alpha) = 0$ となるとき、整式 $P(x)$ は $x - \alpha$ で割り切れて $(x - \alpha)$ を因数に持ちます。高次式の因数分解や方程式を解く手がかりとして使います。

P(\alpha) = 0 \iff P(x) = (x - \alpha)Q(x)

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