高次方程式

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

因数定理や複二次式の性質を利用して、三次以上の高次方程式を解く手順を学びます。代数的な関数の交点を求めたり、幾何的な体積の条件から未知数を決定したりする場面で使われます。事前に因数定理や二次方程式の解法を身につけておくと役立ちます。

要点

高次方程式を解くときは、まず代入して $0$ になる数 $\alpha$ を見つけて $(x - \alpha)$ で因数分解し、方程式の次数を下げて解きます。

P(\alpha) = 0 \implies P(x) = (x - \alpha)Q(x) = 0

整数係数の方程式で解となる有理数（分数）の候補は、 $\pm(\text{定数項 } a_0 \text{ の約数}) / (\text{最高次の係数 } a_n \text{ の約数})$ から探します。因数定理で代入する数を絞り込むときに使います。

x = \pm \frac{p}{q} \quad (p \mid a_0, \; q \mid a_n)

$x^4$ と $x^2$ だけを含む複二次式は、 $X = x^2$ と置き換えるか、 $(x^2 + k)^2 - (mx)^2$ のように「2乗ひく2乗」の形に変形して因数分解します。

x^4 + ax^2 + b = (x^2 + k)^2 - (mx)^2 = 0

複素数の範囲まで広げて考えると、重解（重なった解）も別々に数えて、 $n$ 次方程式にはちょうど $n$ 個の解が存在します。

練習する問題セットを選んでください。