矩阵加法与乘法

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节引入矩形数表——矩阵的概念，学习矩阵的加减法、数乘以及通过行与列对应相乘求和的矩阵乘法法则。这是简洁表示线性方程组与复合线性变换的基础工具。在学习本节前，熟悉实数算术运算和向量数量积将大有裨益。

要点

这是两个矩阵相加的计算规则。只有当两个矩阵 $A$ 与 $B$ 的大小相同时使用，只需将处于相同位置的数字（元素 $a_{ij}$ 与 $b_{ij}$ ）对应相加。

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

这是计算矩阵乘积 $AB$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列元素的公式。计算时，将左侧矩阵 $A$ 的第 $i$ 行横向数字与右侧矩阵 $B$ 的第 $j$ 列纵向数字依次对应相乘后求和。

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

这个公式说明矩阵乘法对加法满足分配律，可以拆开括号。在展开化简式子时使用，但必须注意矩阵相乘的顺序不能颠倒，通常不能将 $AB$ 写成 $BA$ 。

A(B + C) = AB + AC

这是三个矩阵相乘时的结合律，表示先算 $AB$ 还是先算 $BC$ 结果都相同。可以在计算时优先选择更容易算的一对，但三个矩阵 $A, B, C$ 的先后排列顺序绝不能改变。

(AB)C = A(BC)

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