行列の和と積

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

数値を長方形に並べた行列の概念を導入し、行列同士の和や実数倍、行と列の内積による積の計算法則を学びます。線形変換の合成や連立方程式の簡潔な表現に不可欠な道具です。実数の演算やベクトルの内積の計算に慣れていると理解が容易になります。

要点

行列の足し算のルールを表す式です。行と列のサイズが同じ行列 $A$ と $B$ を足すときに使い、同じ位置にある成分 $a_{ij}$ と $b_{ij}$ 同士をそのまま足し合わせます。

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

行列の掛け算 $AB$ において、 $i$ 行 $j$ 列目の成分を計算する式です。左の行列 $A$ の $i$ 行目にある横の並びと、右の行列 $B$ の $j$ 列目にある縦の並びの数を順に掛けて合計します。

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

行列の計算でもカッコを外す分配法則が成り立つことを表す式です。式を展開して整理するときに使いますが、行列の積は掛ける順序を変えると答えが変わるため、 $AB$ を $BA$ に並び替えてはいけません。

A(B + C) = AB + AC

3つの行列を掛け合わせるとき、前と後ろのどちらから先に掛けても同じ結果になる決まり（結合法則）です。計算しやすい組み合わせから先に計算したいときに使えますが、行列 $A, B, C$ の並び順自体は変えられません。

(AB)C = A(BC)

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