解的个数

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习通过比较系数矩阵与增广矩阵的秩以及未知数的个数，判定线性方程组解的情况。两矩阵秩相等时，若等于未知数个数则有唯一解，小于则有无穷多解，不相等则无解。学习前需要掌握矩阵初等行变换与高斯消元法。

要点

这是判断线性方程组是否存在“唯一一组解”的判定式。当系数矩阵 $A$ 的秩与增广矩阵 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ 的秩相等，且都等于未知数个数 $n$ 时成立。

\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}]) = n

这是判断线性方程组是否有“无穷多组解”的判定式。当系数矩阵 $A$ 与增广矩阵 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ 的秩相等但小于未知数个数 $n$ 时，会出现可以自由取值的变量，从而有无穷多组解。

\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}]) < n

这是判断线性方程组是否“完全无解”的判定式。当增广矩阵 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ 的秩严格大于系数矩阵 $A$ 的秩时，方程内部产生矛盾，因此没有任何解。

\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}])

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