解の個数

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

係数行列と拡大係数行列の階数、および未知数の個数を比較して解の個数を判定する方法を学びます。階数が一致すれば未知数の数に応じて解が一意または無数となり、異なれば解は存在しません。行基本変形や掃き出し法の理解が必要です。

要点

連立方程式の解が「ちょうど1組だけ存在する」かどうかを判定する式です。係数行列 $A$ の階数（ランク）と定数項を加えた拡大係数行列 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ の階数が等しく、それが未知数の数 $n$ と一致するときに成り立ちます。

\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}]) = n

連立方程式の解が「無数に存在する」かどうかを判定する式です。係数行列 $A$ と拡大係数行列 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ の階数は等しいものの、未知数の数 $n$ より小さいとき、自由に値を決められる変数が生じるため解が無数に存在します。

\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}]) < n

連立方程式に「満たす解が1つもない（解が存在しない）」かどうかを判定する式です。定数項を加えた拡大係数行列 $[A \mid \boldsymbol{b}]$ の階数のほうが係数行列 $A$ の階数よりも大きいとき、式に矛盾が生じるため解が存在しません。

\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}([A \mid \boldsymbol{b}])

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