表示矩阵

日本学年参考：大学2年级

学习内容

学习在选定基底的情况下，将线性映射转化为矩阵形式的方法。通过矩阵表示，可以将抽象的线性变换转化为具体的矩阵运算。学习本内容前，需要熟悉线性映射的定义以及向量空间的基。

要点

这个公式说明线性映射 $f$ 对向量 $\boldsymbol{x}$ 的变换可以用矩阵 $A$ 的乘法来计算。只要选定基底，抽象的几何变换就能转化为具体的矩阵运算。

f(\boldsymbol{x}) = A \boldsymbol{x}

这是构造表现矩阵 $A$ 的方法。把输入的基底向量 $\boldsymbol{v}_j$ 经过映射 $f$ 变换后，用输出基底 $\boldsymbol{w}_i$ 展开所得的坐标系数 $a_{ij}$ ，就是矩阵的第 $j$ 列。

f(\boldsymbol{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \boldsymbol{w}_i

这是更换基底时表现矩阵的变换公式。新的表现矩阵 $B$ ，可以通过在原矩阵 $A$ 两侧分别乘上基变换矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$ 来计算。

B = P^{-1} A P

请选择要练习的题组。