核与像

日本学年参考：大学2年级

学习内容

学习线性映射映为零向量的元素集合核，以及所有输出构成的集合像。它们在利用秩零度定理分析空间结构时至关重要。学习本内容前，需要掌握线性映射的基本性质与线性方程组的求解。

要点

这是线性映射 $f$ 的“核（Kernel）”的定义。它包含了原空间 $V$ 中所有被映射变成零向量 $\boldsymbol{0}$ 的输入向量 $\boldsymbol{x}$ 所构成的子空间。

\operatorname{Ker}(f) = \{\boldsymbol{x} \in V \mid f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}\}

这是线性映射 $f$ 的“像（Image）”的定义。它是把原空间 $V$ 中的所有向量经过 $f$ 变换后，所有能够到达的输出结果构成的子空间。

\operatorname{Im}(f) = \{f(\boldsymbol{x}) \mid \boldsymbol{x} \in V\}

这是极为重要的维数定理（秩-零度定理）。被压为零向量的维度（核的维数）加上变换后输出的维度（像的维数），正好等于输入空间 $V$ 的总维数。

\dim(\operatorname{Ker}(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)) = \dim(V)

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