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核と像

線形写像

学年の目安（日本）: 大学2年

学ぶこと

線形写像によって零ベクトルに移る元の集合である核と、出力全体の集合である像を学びます。次元定理など空間の構造解析に用いられます。線形写像や連立1次方程式の理解が必要です。

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要点

線形写像 ff の「核（カーネル）」の定義です。写像によって移した結果がゼロベクトル 0\boldsymbol{0} になってしまうような、元の空間 VV のベクトル x\boldsymbol{x} をすべて集めた部分空間を表します。

Ker⁡(f)={x∈V∣f(x)=0}\operatorname{Ker}(f) = \{\boldsymbol{x} \in V \mid f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}\}

線形写像 ff の「像（イメージ）」の定義です。元の空間 VV にあるすべてのベクトルを ff で移したときに、移動先として届くすべての結果（出力ベクトル）を集めた部分空間を表します。

Im⁡(f)={f(x)∣x∈V}\operatorname{Im}(f) = \{f(\boldsymbol{x}) \mid \boldsymbol{x} \in V\}

線形代数の極めて重要な関係式（次元定理）です。ゼロに潰れて消えてしまう次元（核の次元）と、移動先に現れる次元（像の次元）を足し合わせると、元の空間 VV の次元とぴったり一致します。

dim⁡(Ker⁡(f))+dim⁡(Im⁡(f))=dim⁡(V)\dim(\operatorname{Ker}(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)) = \dim(V)

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