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数列的极限

极限

日本学年参考：数学III

学习内容

本项学习当数列项数趋于无穷大时，判断其收敛于某极限还是发散，并计算其极限值。该方法常用于求无穷等比级数的和以及离散动态系统的建模。学习本项内容前，需要掌握等差与等比数列的通项公式及不等式性质。

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要点

该式表明当公比 rr 的绝对值小于 1（即 ∣r∣<1|r| < 1）时，随着相乘次数 nn 趋于无穷大，rnr^n 会无限趋近于 0。常用于分析等比数列的长期走向。

lim⁡n→∞rn=0(∣r∣<1)\lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)

这是求首项为 aa、公比为 rr 的无穷等比数列各项之和的公式。只要公比满足 ∣r∣<1|r| < 1，即使无限相加也不会发散，总和稳定在 a1−r\frac{a}{1-r}。

∑n=1∞arn−1=a1−r(∣r∣<1)\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r| < 1)

该式表明当分母 nn 趋于无穷大时，只要指数 pp 是正数（p>0p > 0），分式 1np\frac{1}{n^p} 的值就会趋近于 0。这是计算数列极限时的基础法则。

lim⁡n→∞1np=0(p>0)\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)

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