数列の極限

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

数列の項を無限に進めたときに値が一定値に収束するか、発散するかを判定して極限値を求めます。無限等比級数の和や連続時間の現象をモデル化する際に活用されます。等差・等比数列や不等式の基礎知識が役立ちます。

要点

公比 $r$ の絶対値が 1 未満（ $-1 < r < 1$ ）のとき、掛け合わせる回数 $n$ を限りなく増やすと $r^n$ が 0 に近づくことを表す式です。等比数列の長期的な変化を調べるときに使います。

\lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列を無限に足し合わせた合計（無限等比級数の和）を求める公式です。公比の絶対値が 1 未満（ $|r| < 1$ ）のとき、無限に足しても値は発散せず、 $\frac{a}{1-r}$ に落ち着きます。

\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r| < 1)

分母の $n$ が限りなく大きくなるとき、指数 $p$ が正の数（ $p > 0$ ）であれば、分数 $\frac{1}{n^p}$ の値が 0 に近づくことを表す式です。数列の極限を計算するときの基本として使います。

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)

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