函数的极限

日本学年参考：数学III

学习内容

本项研究当自变量趋于某一定值或无穷大时函数的极限与连续性。它是定义导数和确定函数图像渐近线不可或缺的微积分基础。学习本项内容前，建议熟练掌握常见函数图像、因式分解以及分式化简的代数技巧。

要点

该极限表明当角 $x$ 趋近于 0 时， $\sin x$ 与 $x$ 的比值趋近于 1。这是推导三角函数求导法则的基石，其中的角 $x$ 必须使用弧度制。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

这是定义重要数学常数自然对数的底 $e$ （约 2.718）的公式。给 1 加上极小的量 $x$ 并计算其 $\frac{1}{x}$ 次方，在 $x$ 趋近于 0 时会收敛到常数 $e$ 。

\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

这是定义函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处连续（图象连贯无断开）的条件式。它说明当 $x$ 趋向 $a$ 时的极限值，与该点处的实际函数值 $f(a)$ 完全相等。

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

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