関数の極限

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

変数をある値や無限大に近づけたときの関数の極限値や連続性を調べます。微分係数を定義する際や、グラフの漸近線を求める場面で不可欠な知識です。関数のグラフや式変形、因数分解の基礎が前提となります。

要点

角度 $x$ を 0 に近づけたとき、 $\sin x$ と $x$ の比が 1 に近づくことを表す極限の式です。三角関数の微分公式を導くときの基礎となり、角 $x$ は度ではなく弧度法（ラジアン）で表します。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

自然対数の底 $e$ （ネイピア数：約 2.718）を定義する重要な式です。1 にごくわずかな数 $x$ を足して $\frac{1}{x}$ 乗した値は、 $x$ を 0 に限りなく近づけると一定の数 $e$ に収束します。

\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

関数 $f(x)$ のグラフが地点 $x = a$ で途切れずにつながっている（連続である）ことを表す条件式です。 $x$ を $a$ に近づけたときの極限値と、その場所の実際の値 $f(a)$ が一致することを意味します。

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

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