三次式的展开

日本学年参考：数学II

学习内容

学习运用完全立方公式以及立方和差公式来高效展开三次代数式。这是处理高次多项式和解决高次方程的重要运算技能。在学习本内容前，熟练掌握二次乘法公式及合并同类项的技巧，将为本节学习打下坚实的基础。

要点

用于展开两数之和的立方 $(a + b)^3$ 。首尾分别是各自的立方，中间两项的系数均为 3（ $3a^2b$ 与 $3ab^2$ ）。

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

用于展开两数之差的立方 $(a - b)^3$ 。字母组合与和的立方一致，但各项符号从正到负交替出现。

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

用于展开化简为两数的立方和 $a^3 + b^3$ 。为使中间项完全抵消，第二个因式中的交叉项带有负号（ $-ab$ ）。

(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3

用于展开化简为两数的立方差 $a^3 - b^3$ 。为使中间项完全抵消，第二个因式中的交叉项带有正号（ $+ab$ ）。

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

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