随机变量的期望与方差

日本学年参考：数学B

学习内容

本项学习取值随试验结果而定的随机变量，并计算代表平均水平的期望值与代表离散程度的方差。这些指标常用于量化不确定性以及金融与科学领域的风险分析。学习本项内容前，建议掌握基础概率概念与基本求和计算。

要点

这是用来计算随机变量 $X$ 的平均值（期望值）的公式。将每个可能出现的数值 $x_i$ 与其发生概率 $p_i$ 相乘并全部相加，就能算出长期来看预期的平均水平。

E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i

这是用来快速计算随机变量 $X$ 的分散程度（方差 $V(X)$ ）的公式。用“数值平方的平均值” $E(X^2)$ 减去“平均值的平方” $(E(X))^2$ ，即可简便地算出方差。

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

这是通过对方差 $V(X)$ 开平方根来计算标准差 $\sigma(X)$ 的公式。这样能将平方后的单位还原为原始单位，便于直接与平均值放在一起比较分散程度。

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

这是表示当把随机变量 $X$ 变为 $aX + b$ 时，新的方差如何变化的公式。加上常数 $b$ 不会改变数据的分散程度，而乘以 $a$ 会使方差扩大为原来的 $a^2$ 倍。

V(aX+b) = a^2 V(X)

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