正态分布

日本学年参考：数学B

学习内容

本项学习自然界与社会中广泛存在的钟形正态分布，包括标准化方法与概率查表计算。它在考试标准分计算、测量误差分析及统计推断中起着核心作用。学习本项内容前，需要掌握连续型随机变量、期望与方差的基础知识。

要点

这是将均值为 $m$ 、标准差为 $\sigma$ 的数据 $X$ 转化为基准值 $Z$ （均值 0，标准差 1）的标准化公式。常用于公平比较平均分和分散程度不同的各项测验成绩。

Z = \frac{X - m}{\sigma}

这表明经过标准化后的变量 $Z$ ，其期望值 $E(Z)$ 必定为 0，方差 $V(Z)$ 必定恒为 1。这使得不同的数据都能在同一个统一的尺度下进行分析。

E(Z) = 0, \quad V(Z) = 1

这是以均值 $m$ 为中心、左右对称的钟形曲线（正态分布）的函数表达式。它表示各数值 $x$ 处的概率密度高低，标准差 $\sigma$ 越大，曲线就越平缓宽阔。

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}

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