组合

日本学年参考：小学6年级

学习内容

学习在不考虑先后顺序的前提下，从若干对象中选取组合的系统计数方法。这一技巧广泛应用于体育比赛对阵编排和团队分组等日常生活情境中。提前复习排列的计数思路以及利用表格整理可能性的技巧将大有帮助。

要点

该公式用来计算从 $n$ 个不同物品中不计顺序选出 $r$ 个的组合数。用考虑顺序的排列数 ${}_n\mathrm{P}_r$ 除以选出的 $r$ 个物品的内部排列数 $r!$ ，以消除重复。

{}_n\mathrm{C}_r = \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}

该公式用来计算从 $n$ 个对象中选出 2 个的组合数。常用于从 $n$ 人中选出 2 人搭档、计算单循环赛的总场数，或计算连接各点构成的线段总数。

{}_n\mathrm{C}_2 = \frac{n(n - 1)}{2}

该公式表明，从 $n$ 个物品中选出 $r$ 个的方法数，与选出保留的 $(n - r)$ 个的方法数相同。例如从 10 个中选 8 个可转化为计算数字更小的 ${}_{10}\mathrm{C}_2$ ，从而简化运算。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n - r}

该公式表明，从 $n$ 个物品中“一个都不选（选 0 个）”和“全部选出（选 $n$ 个）”的方法都各只有 1 种。这是组合计数中的基本规定。

{}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1

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