組み合わせ

学年の目安（日本）: 小6

学ぶこと

順序を気にせず、いくつかのものの中から選ぶ組み合わせの数を図や表を使って学びます。チーム分けや試合の組み合わせなど、日常の選択肢を過不足なく数える場面で役立ちます。並べ方の考え方や表を用いた整理方法を復習しておきましょう。

要点

異なる $n$ 個の中から順序を考慮せずに $r$ 個を選ぶ選び方（組合せ）の総数を求める式です。並べる場合の数 ${}_n\mathrm{P}_r$ を、選んだ $r$ 個の並び順の数 $r!$ で割ることで重複を除きます。

{}_n\mathrm{C}_r = \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}

$n$ 個のものから 2 個を選ぶ組合せの数を求める式です。 $n$ 人から 2 人のペアを選ぶときや、総当たり戦の試合数、点を結ぶ線分の本数を数えるときによく使われます。

{}_n\mathrm{C}_2 = \frac{n(n - 1)}{2}

$n$ 個から $r$ 個を選ぶ選び方の数は、残す $(n - r)$ 個を選ぶ選び方の数と一致することを示す式です。例えば 10 個から 8 個を選ぶときは、残す 2 個を選ぶ ${}_{10}\mathrm{C}_2$ として計算すると手間を省けます。

{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n - r}

$n$ 個の中から「1 つも選ばない（0 個選ぶ）」場合と「すべて選ぶ（ $n$ 個選ぶ）」場合の選び方は、どちらも 1 通りであることを表す基本の決まりです。

{}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1

練習する問題セットを選んでください。