多边形的内角与外角

日本学年参考：初中2年级

学习内容

学习将多边形分割为三角形来推导内角和公式，以及外角和恒为360度的性质。该性质在计算正多边形各内角角度及多边形分析中十分常用。学习前需要牢记三角形内角和为180度的结论。

要点

该公式用于计算 $n$ 边形所有内角的度数和 $S$ 。因为从一个顶点出发可将多边形分成 $(n - 2)$ 个三角形，所以用 $180^\circ$ 乘以 $(n - 2)$ 进行计算。

S = 180^\circ \times (n - 2)

该公式表示多边形所有外角 $\theta_{\text{ext}}$ 的总和。无论该多边形有多少条边，其所有外角相加的总和始终恒等于 $360^\circ$ 。

\sum \theta_{\text{ext}} = 360^\circ

该公式用于计算正 $n$ 边形中单个内角的度数 $\theta$ 。用所有内角的总和除以角的数量 $n$ 即可求得。

\theta = \frac{180^\circ \times (n - 2)}{n}

该公式用于计算正 $n$ 边形中单个外角的度数 $\varphi$ 。用外角总和 $360^\circ$ 除以顶点数量 $n$ 即可算出。

\varphi = \frac{360^\circ}{n}

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