多角形の内角・外角

学年の目安（日本）: 中2

学ぶこと

三角形に分割して多角形の内角の和を求め、外角の和が常に360度になる性質を学びます。正多角形の1つの角の大きさを求める際などに役立ちます。三角形の内角の和が180度である理解が必要です。

要点

$n$ 角形の内側の角をすべて足した合計（内角の和 $S$ ）を求めるときに使う式です。 $1$ つの頂点から対角線を引くことで $(n - 2)$ 個の三角形に分割できるため、 $180^\circ$ に $(n - 2)$ を掛けて計算します。

S = 180^\circ \times (n - 2)

多角形の外側の角（外角 $\theta_{\text{ext}}$ ）をすべて足し合わせた合計を表す式です。頂点の数 $n$ に関わらず、どのような多角形であっても外角の総和は常に $360^\circ$ になります。

\sum \theta_{\text{ext}} = 360^\circ

すべての辺と角が等しい正 $n$ 角形において、 $1$ つの内角の大きさ $\theta$ を求めるときに使う式です。内角の総和を頂点の数（角の数） $n$ で均等に割って計算します。

\theta = \frac{180^\circ \times (n - 2)}{n}

正 $n$ 角形において、 $1$ つの外角の大きさ $\varphi$ を求めるときに使う式です。外角の総和である $360^\circ$ を頂点の数 $n$ で均等に割って計算します。

\varphi = \frac{360^\circ}{n}

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