正弦定理

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

一般の三角形の辺の長さと向かい合う角の正弦、外接円の半径を結ぶ正弦定理を学びます。直角三角形の三角比や円周角の定理を土台とし、未知の辺や角を求めます。測量での距離計算や航法など、広く実用的な計算に応用されます。

要点

三角形の3辺 $a, b, c$ 、各対角 $A, B, C$ 、および外接円の半径 $R$ の関係を示す式（正弦定理）です。向かい合う辺と角の組から未知の辺の長さや外接円の直径 $2R$ を求めるときに使います。

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

外接円の半径 $R$ と角 $A$ から向かい合う辺の長さ $a$ を求める式です。幾何の問題で辺の長さをサインを用いた式に置き換えて整理したいときにも役立ちます。

a = 2R\sin A

三角形の3辺 $a, b, c$ の長さの比が、各対角のサインの比と完全に一致することを示す式です。角度の大きさから辺の比率を調べたり、比率の方程式を解いたりする際に使います。

a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C

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