多面体

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

5種類の正多面体の特徴や対称性、頂点・辺・面の数の関係を表すオイラーの多面体定理を学びます。空間図形や合同な平面図形の知識を基礎とします。3次元の空間構造の把握や、結晶構造の理解、トポロジーの入り口として活用されます。

要点

へこみのない立体（凸多面体）において、頂点の数 $v$ 、辺の数 $e$ 、面の数 $f$ の関係を表す式（オイラーの多面体定理）です。多面体の具体的な形に関わらず、この等式が常に成り立ちます。

v - e + f = 2

正多面体の辺の数 $e$ 、面の数 $f$ 、頂点の数 $v$ を計算する式です。各面が正 $n$ 角形で各頂点に $k$ 本の辺が集まるとき、1本の辺が2つの面や2つの頂点で共有されることから成り立ちます。

2e = nf = kv

すべての面が合同な正多角形で構成される正多面体は、数学的に5種類しか存在しません。具体的には正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つに限られます。

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