和集合・共通部分・補集合

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

集合を構成する要素の表し方を学び、和集合や共通部分の演算、全体集合における補集合の求め方を習得します。条件を満たす対象を分類整理する数学全般の基礎として役立ちます。不等式や整数の基本的な性質を理解しておくとスムーズです。

要点

「 $A$ または $B$ 」の外側の範囲は、「 $A$ の外側」と「 $B$ の外側」が重なる共通範囲と等しいことを示す式です（ド・モルガンの法則）。複雑な集合や条件を整理して言い換えるときに使います。

\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}

集合の計算でかっこを外して整理するときに使う式です（分配法則）。数の掛け算と同様に、 $A$ との共通部分をとる演算を $B$ と $C$ のそれぞれに配ることができます。

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

集合 $A$ とその外側 $\bar{A}$ を合わせると全体 $U$ になり、両方に重なる要素はない（空集合 $\emptyset$ ）ことを表す式です。全体と部分の構造を確認するときに使います。

A \cup \bar{A} = U, \quad A \cap \bar{A} = \emptyset

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