否定と対偶

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

命題の真偽を吟味し、否定や逆・裏・対偶の作り方と「命題とその対偶の真偽の一致」を学びます。直接示すことが困難な数学の定理を対偶を用いて証明する際に不可欠です。集合の包含関係や基本的な論理思考を理解しておくと効果的です。

要点

命題「 $p$ ならば $q$ 」とその対偶「 $q$ でないならば $p$ でない」の正しさが完全に一致することを示す法則です。元の命題を直接証明しにくいときに、対偶を使って証明する手法で役立ちます。

(p \implies q) \iff (\neg q \implies \neg p)

「 $p$ かつ $q$ 」を否定すると「 $p$ でない、または $q$ でない」と同値になることを表す法則です（ド・モルガンの法則）。両方が同時に成り立つ事態を否定したいときに使います。

\neg (p \land q) \iff \neg p \lor \neg q

「すべての $x$ で成り立つ」を否定すると、「成り立たない例（反例 $x$ ）が少なくとも1つある」という意味になる法則です。「いつでも成り立つ」という主張を、1つの反例を示して覆すときに使います。

\neg (\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)

練習する問題セットを選んでください。